在数列极限的定义中，规定了N为正整数，之所以这么规定，只是因为N表示数列的项数，数列的项数一般从1开始，不为0。当然数列极限的实质和前面的有限项并没什么关系，你不采用这种主流定义，而规定N可以为0来定义数列极限，完全是正确的也是等价的。

假如你坚持N为正整数的定义，那N取 就会出现问题，因为 是任意正数，如果大于1，那取整后N就为0，与定义不符了，所以通常会取整后加1来保证N为正整数。

至于 这道题没有取整后加1，是因为它注明了“不妨设 ”，所以直接取整后一定大于等于1，不需要加1来保证正整数。之所以可以“不妨设”，是因为当 时，式子 显然成立。

每次去验证式子“显然成立”的情况，然后“不妨设”是很麻烦而且多余的，为了一劳永逸我建议每次都取整加1，也就是取 ，然后利用取整函数恒成立的不等式 去证明剩下的内容。

数列不动点迭代数列的运用？

以后学了高等数学就明白了，不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。 至于你的这个问题，是数列的计算技巧问题。这里利用特征根（也就是解得的不动点）可以把数列的通项公式写出来，进而得到周期。可以参看任何一本组合数学的书。由于数列是分式线性变换的迭代，可以和二阶矩阵的乘幂对应，所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解，都是类似的想法。——这就是这个题目背后的数学内容 具体的内容大概写起来很长，建议你去查书，组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分。 对于高中生，当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换，转化为（一个或两个）等比数列求解。

数列怎么学更好

数列的学习建议
（1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等．

（2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法．由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法．

（3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．

（4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用 来调整等．如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系．

（5）对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前 项和的概念，用 表示 的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析 与 的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调 的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况．

（6）给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的．