数学，是我们精确理解世界的方式。
首先声明，我不是搞数学的，但作为一个科研从业者和科普爱好者，我确实意识到数学非凡的意义。因此，不要指望我会说学习数学对你高考有什么帮助哦，我是不碰应试教育的：）引子：我们人类虽然分白人、黄种人、黑人各种肤色，长相也差别巨大，但是当你去看他们各自的骨骼，会发现都差不多，都是那206块骨头拼成的。其实，数学就像是所有自然科学的骨架：自然科学虽然琳琅满目，每一个学科都显得与其他截然不同，但是当你把专业知识的外壳剥掉，会发现核心的都是一堆数学方程，数学描述了自然界中各种元素相互作用的关系，也是你理解这纷繁世界的一把钥匙。
下面列举两个科学中的例子，可以体会一下数学的用处：
A）广义相对论：爱因斯坦在完成了狭义相对论之后，就总结了“时空”和“质能”之间的关系，他指出，物质-能量的存在确定了围绕着它的空间-时间的曲率。即空间的弯曲是直接与空间内包含的能量和物质的总量相关。
爱因斯坦发现了正确的物理原理，但他却苦于没有严谨的数学公式来表述这个原理。换句话说，爱因斯坦发现了物理原理，却缺乏数学工具使其成为一门科学理论。
而实际上，早在几十年前，德国数学家、物理学家波恩哈德·黎曼在他开创的“黎曼几何”中就已用数学工具和数学技巧明确表述：“力”并不存在，它只是由空间的几何形变引起的表现效果，是空间的弯曲引起“力”的出现。
于是爱因斯坦花费了好几年苦苦寻找能够表达他的物理原理的数学形式，在绝望中他求助于他最亲近的朋友，数学家马塞尔·克罗斯曼，而克罗斯曼没有让爱因斯坦失望，他在黎曼的著作中发现了被物理学家们忽略了60年的“黎曼度规张量”，并向爱因斯坦讲解了黎曼的著作以及“黎曼度规张量”的原理。接下来，让爱因斯坦震惊的是，他发现黎曼在1854年的著名公开演讲——《论几何基础的假说》，是解决他面临的问题的关键，他发现可以用黎曼的工作重写他的物理原理。随后，几乎是一行一行地，黎曼的伟大思想在爱因斯坦的物理原理中找到了它真正的家。这是爱因斯坦最骄傲的一项工作，成就甚至超过了他的著名方程E=MC^2。[1]
B) 分形
我们先按照以下顺序构造一个图形。首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段…… 如此这般我们经过5次操作，会得到下面的图形，注意图中顺序，你发现什么了？从第二步开始基本形状就固定了，但是它的边缘在不停的细化又细化，最后一步变得都有些毛茸茸了。其实这个边缘能够按照这个规则无线细分下去。
你想像一下，会得到什么图形呢？
答案是它还是这样一个形状，只不过它的边缘会无限的精细，每个突出的小三角形都和它所生长的那个大三角形的形状完全相同，只是大小会有差异罢了。这个东西有个名字叫做“科赫曲线” ，那么下面我们把三个科赫曲线分别错开120°排列起来：
是不是很熟悉？对了，你仔细观察一片雪花，也会是这样的。其实不只是雪花，一片树叶、俯瞰地球上的海岸线边缘，其实都是类似的“自相似”特性的。
那这种看着很神奇的自相似图形到底有什么特点或者规律呢？这就要数学出场了！还是以科赫曲线为例子，它的长度变化用数学表达的话：
第一步：最开始的一段直线，分成了3份，接着把中间那一份替换成了两份，因此总长变成了 4/3
第二步：上面这四段中每一段直线又变成了之前的4/3 也就是最初的 (4/3)^2 = 16/9
第三步：重复上述操作，这16段的每一段又变成了之前的4/3，因此是最初长度的(4/3)^3
... ...
下面就很明白了把，随着这种分解无限进行下去，最终长度会变为无限长，也就说明明这段科赫曲线的长宽都摆在那里就是这么大，但是从数学上说这段线段的长度随着不断的细分，最终是无限的，因为它的总长是(4/3)^n
如果类似的方法你来算一下刚才那朵“雪花”的面积，你会发现它等于Σ4^n/9^n，随着n增大，这个面积却是有限的。这简直太不符合常理了，一般来说一个无限长的曲线应该围住的面积也是无限的啊？
但是分形（Fractal）就是这么有意思，如果没有数学工具的帮助，恐怕这种自相似也就在我们脑海中一闪而过吧，肯定是无法发现这么神奇的规律，乃至创建一个分形学的学科了吧。
其实还有很多科学，本来文科属性很重呢，数学这么一掺和，马上深刻了很多，比如生物学，达尔文那个时代还叫做“博物学”，还是拼谁记忆力好谁就成就高呢，结果孟德尔提出了遗传定律，把概率论给掺和进去了，然后生物学后面的发展就和数学结下了不解之缘，至于什么进化论的现代综合，当代进化、遗传学等等都随着数学工具的加入跟着诞生和快速发展起来了，生物学也早就不是文科的东西了。因此这个“锅“数学还真得背！以至于现在，差不多成了这样一个套路：一种科学思想，只有和逻辑与数学结合后，才能称得上科学理论！这也许就是数学的用处吧
